| An�lisis Matem�tico 2 | Examen Final | Diciembre 2000 | Altillo.com |
1) a) Enuncie el teorema de la divergencia. Bajo las condiciones del teorema, demuestre que si existe h ε C2 (R3) tal que f = rot(h), entonces el flujo de f a trav�s de toda superficie cerrada es nulo.
b) Sea f(x,y,z) = ( xy-z, xz sen(x+z), g(x,y) ) donde g : R2 � R tiene derivadas parciales continuas. Calcule el flujo de f a trav�s de la superficie frontera del cuerpo definido por y + z � 4, y � x , 1� octante.
2) a) Ecuaci�n diferencial ordinaria: definici�n de soluci�n, distintos tipos de soluciones. Analice si x = 0 es soluci�n singular de la ecuaci�n diferencial xy� = 4x2.
b) Determine g(x) / su gr�fica pase por (1,2), y el campo f(x,y) = ( yg(x) � y, y2 + g(x) ) admita funci�n potencial.
3) Dada g(x,y) = ln (f(x,y)) analice si g(1,2) es extremo local, en caso afirmativo clasif�quelo. La funci�n f ε C2 y su polinomio de Taylor de 2� orden en un entorno de (1,2) es p(x,y) = 5 + 3(x-1) 2 + 2(x-1)(y-2) + 2(y-2) 2.
4) Calcule el �rea del trozo de plano de ecuaci�n z = 2y interior al elipsoide de ecuaci�n 2x2 + 4y2 + z2 = 32.