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1)     Sea x₁~N(-1;1/5), x₂~N(0;1/√3), x₃~N(0;2), x₄~N(-2;1) y x₅~N(4;2) independientes.

a)     A partir de los mismos generar una variable aleatoria F₂;₃ justificando claramente su constitución.

b)     Calcular P[(x₁≥-3/5) ∪(x₂≤1/√3)]

c)     Sea Z~N(0;1) calcular el valor de A tal que P(-3,1<Z≤A)=0,024.

2)     Un 65% de los proveedores de la firma Stato-Cola tiene domicilio legal en la ciudad de Bs As(CABA). Si se seleccionan 4 proveedores al azar calcular la probabilidad:

a)     que algunos de ellos tengan domicilio legal en CABA.

b)     que como máximo el valor esperado de la cantidad de proveedores tengan domicilio en CABA si se sabe que alguno de ellos tienen domicilio en CABA.

3)     De los 100 clientes de Stato-Cola el 60% son almacenes y el resto son  supermercados. El 70% de los clientes abonan sus compras con cheques a 30 días o más. Sólo el 12,5% de los supermercados abonan de otra manera.

a)     Realizar una tabla de probabilidades conjuntas.

b)     ¿Qué porcentaje de los que abonan con cheques a 30 días o más son almacenes?

4)      Sea una variable aleatoria X que toma sólo los valores -1 y 1. Si su valor esperado es -0,20

a)     Elaborar la tabla de probabilidad de X y calcular P(A̅∩B) Siendo A:{X≥0,1} y

B:{X≥-2,1}.

b)     Calcular V(√7-X) y E(1+2X) justificando las respuestas.

5)      Se da a continuación los valores de algunos parámetros obtenidos a partir de 50 observaciones.(completar)

        X̄= -50     S²=6,25    P₂₅= -70   P₅₀= -55   P₇₅= -40    mo= -57

El valor promedio de la variable es -50, mientras que la mediana es -55. El desvío estándar es 2,5y el rango intercuartílico es 30. Un75 % (porcentaje) de las observaciones superan el valor -70 y hay 25(cantidad) observaciones que superan el valor -55.

Respuestas:

1)     a) El primer paso es estadarizar todas las variables.

z₁=5(x₁+1)=5x₁+5~N(0;1)

z₂=√3.x₂~N(0;1)

z₃=x₃/2~N(0;1)

z₄=x₄+2~N(0;1)

z₅=(x₅-4)/2~N(0;1)

⇒z₁, z₂, z₃, z₄ y z₅ son variables independientes (cada una depende de una variable distinta)

Para armar una variable aleatoria F₂;₃ necesito una variable  X~X²₂ y una  Y~X²₃ independientes( Los grados de libertad de la variable F de Fisher me indican los grados de libertad de cada una de las Ji cuadrado que necesito). Entonces armo las variables Ji cuadrado (el grado de libertad de ellas me indican cuantas normales estándar al cuadrado se suman):

X=z₁²+z₂²=(5x₁+5)²+(√3.x₂)²~ X²₂

Y=z₃²+z₄²+z₅²=(x₃/2)²+(x₄+2)²+[(x₅-4)/2]²=(x₃/2)²+(x₄+2)²+(x₅-4)²/4~ X²₃

X depende de z₁ y z₂, Y depende z₃, z₄ y z₅⇒X e Y son independientes.

Armo la F₂;₃:

     f=              [(5x₁+5)²+( √3.x₂)²]/2                   →X~ X²₂ divido su grado de libertad

      [(x₃/2)²+( x₄+2)²+ (x₅-4)²/4]/3      →Y~ X²₃ dividido su gado de libertad

b)P [(x₁≥-3/5) ∪ (x₂≤1/√3)] →estandarizo⇒=P [5(x₁+1) ≥5 (3/5+1) ⋃(x₃/2≤1)]=

P [(z₁≥2) ⋃ (z₃≤1)] →Aplico teorema de la probabilidad total ⇒

P (z₁≥2)+ P (z₃≤1)- P [(z₁≥2) ∩ (z₃≤1)]→ z₁ y z₃ independientes, uso teorema del producto

=1-P(z₁≤2)+ P (z₃≤1)-[P (z₁≥2).P(z₃≤1)]=1-0,9772+0,8413-(0,0228.0,8413)=

0,8641-0,0192=0,8449

c) P(-3,1<Z≤A)=0,024 →por simetría esta área es igual al que está comprendido entre –A y 3,1

  ⇒         = P (-A≤Z≤3,1)=0,024

P (Z≤3,1)- P (Z≤ -A)=0,024

0,9990- P (Z≤ -A)=0,024

P (Z≤ -A)=0,9990-0,024

P (Z≤ -A)=0,975→Busco en tabla el Z que acumula a izquierda 0,975

⇒ -A=1,96⇒ A= -1,96

2)     X ~Bi (4; 0,65) p: la probabilidad de que un proveedor de Stato-Cola tenga domicilio en CABA.

a)      P(X≥1)= 1-P(X<1)= 1-P(X=0)=1-0,0150=0,9850

b)     E(x)=0.P(0)+1.P(1)+2.P(2)+3.P(3)+4.P(4)

E(X)=0+0,1115+2.0,3105+3.0,3845+4.0,1785

E(X)=0,1115+0,621+1,1535+0,724

E(X)=2,6

P(X≤2,6/X≥1)=P(X≤2,6∩X≥1)/P(X≥1)=[P(1)+P(2)]/0,985= (0,1115+0,3105)/0,985=0,422/0,985=0,4284

3)

a) Sucesos:

A: La cantidad de clientes que son almacenes.

S: La cantidad de clientes que son supermercados.

C: La cantidad de clientes que abonan con cheques a 30 días o más.

O: La cantidad de clientes que abonan con otra forma de pago.

Datos:

P(A)=0,60

P(C)= 0,70

P(O/S)=0,125

Tabla de probabilidades conjuntas:

*P(O/S)=P(O ∩ S)/P(S)

0,125= P(O ∩ S)/0,40

0,125.0,40= P(O ∩ S)

P(O ∩ S)=0,05

b)     P(A/C)= P(A ∩ C)/P(C)=0,35/0,70=0,50

Rta: El 50% de los que abonan con cheques son almacenes.

4)

a) Datos:

E(x)= -a+(1-a)

E(x)= -2a+1

-0,20= -2a+1

-1,20= -2a

-1,2/-2= a

a= 0,60

Tabla de probabilidad

P(A̅∩B)= P(X<0,1∩X≥-2,1)= P(-2,1≤X<0,1)= P(X=-1)=0,60   **Entre esos números, X sólo toma el valor -1.

b)V(√7-X)=      Aplico propiedad V(X±k)=(X)

V(-X)=                    Aplico V(kX)=k²V(X)

       (-1)²V(X)=

       V(X)=

       E(X²)-E(X)²=

       1-(-0,20)²=

       1-0,40=

0,96

E(1+2X)=        Aplico la propiedad E(X±k)=E(X)

E(2X)=              Aplico E(kX)=k.E(X)

2.E(X)=

2.(-0,20)=
-0,40