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Problema 1)
Dado el siguiente problema de valores de contorno (PVC) definido en el intervalo [0 , 2]

con  y₍₀₎ = 1  e  y'₍₂₎ = -y₍₂₎

a) Aplicar el método de las diferencias y plantear la ecuación en diferencias correspondiente a un error de discretización de orden 2.
b) Escribir un programa (en pseudo-código bien estructurado o en el lenguaje de programación empleado para realizar los TP's) que calcule e imprima la solución aproximada del PVC utilizando el planteo descripto en el punto anterior. Suponer que el único dato que se ingresa al programa es la cantidad N de intervalos en los que se divide el dominio del problema la cual se pide que no sea inferior a 2. El programa deberá llamar al procedimiento TRIDIAG (M , T) que resuelve sistemas de ecuaciones lineales (SEL) tridiagonales. La variable M, que es de tipo entero, almacena a la dimensión del SEL mientras que T es un arreglo de M filas y 5 columnas que almacena en variables de punto flotante los siguientes datos:

Columna 1: (i , 1) = a_{i , i-1} con i = 2, 3, ..., M donde a es la matriz de coeficientes del SEL.
Columna 2: (i , 2) = a_{i , i} con i = 1, 2, ..., M
Columna 3: (i , 3) = a_{i , i+1} con i = 1, 2, ..., M-1
Columna 4: (i , 4) = b_i con i = 1, 2, ..., M donde b es el vector de términos independientes del SEL.
Columna 5: (i , 5) = x_i con i = 1, 2, ..., M donde x es la solución del SEL.

c) Calcular la solución aproximada para el caso de N = 2.

Problema 2)
a) Analizar si el siguiente método numérico para integrar problemas de valores iniciales (PVI) de primer orden es consistente e indicar cual es el orden de su error de discretización.

u_n+1 = u_n + k/3 [f(t_n , u_n) + 2 f(t_n + 3/4 k , u_n + 3/4 k f(t_n, u_n))] donde y' = f(t,y)

b) Aplicar el método anterior para calcular la solución del siguiente PVI en t = 3 usando un paso k = 0.5

y' = 1 + (t - y)² con  y₍₂₎ = 1 cuya solución es  y = t+1/(1 - t)

c) Obtener un resultado mas preciso sin reducir h usando extrapolación de Richardson.

Pregunta 1)
Indicar cual es el polinomio de mayor grado que puede ser integrado por los métodos de Rectángulo, Trapecio, Simpson y Gauss.

Pregunta 2)
¿Cuál método de extrapolación conviene ser usado si luego se planea aumentar el grado del polinomio interpolante a traves de la incorporación de nuevos puntos de interpolación. Justificar la respuesta.