Criterio de evaluación: Adecuada aplicación de herramientas de Matemática II para resolver situaciones problemáticas contextualizadas y capacidad para argumentar y justificar las respuestas.

Condiciones de aprobación: Para aprobar el parcial, se requieren al menos 60 puntos, lo que equivale a obtener una calificación de 4.
Condiciones de presentación: Deberá presentarse en un archivo formato PDF. Se asume que el foco de cada problema son las argumentaciones y justificaciones, razón por la cual no podría aparecer únicamente una imagen capturada de un software, ni cálculos matemáticos aislados. No se puede consultar apuntes, teléfono celular, ni buscar información de Internet o usar inteligencia artificial.

Actividades
Problema. Una industria láctea analiza los ingresos y los costos totales que tiene por producir y vender determinado producto. Estos datos fueron registrados y se contemplan en la siguiente tabla:

Cantidad (toneladas) Ingresos (U$S) Costos totales (U$S)
20 960 1001.82
50 2250 1026
120 4560 1350.52
200 6000 2613
350 5250 9613.5

Realiza un informe, con fundamentos matemáticos y económicos, donde analices el comportamiento de la demanda, ingresos por ventas, costos totales, costos marginales (calculados como el ), costos promedios (analizando qué sucede para cantidades prácticamente nulas y cuando la producción aumenta indeterminadamente) y utilidades.
Este informe debe servir para proporcionar a la empresa una visión integral y fundamentada de su situación económica, brindándole información valiosa para la toma de decisiones estratégicas, las cuales podrían ayudar a la optimización de la producción y la rentabilidad del negocio. En el informe tendrás que contemplar los siguientes aspectos:
- Argumentos que respalden la elección de los modelos utilizados en el análisis, junto con una justificación sólida que explique por qué se han descartado otros ajustes funcionales.
- Gráficos adecuados que faciliten la interpretación de los argumentos presentados, permitiendo una visualización efectiva de los datos y tendencias relevantes.
- Ejemplos concretos que ilustren y respalden las argumentaciones realizadas, incluyendo la evaluación de las funciones en diferentes valores considerados apropiados para una interpretación más precisa y completa.
- Comportamientos de la demanda y de los costos promedios para cantidades casi nulas y cantidades infinitamente grandes.


Respuesta:

Mediante los datos ofrecidos por dicha empresa láctea, tendré que analizar los costos totales, los costos marginales y sus tasas de variación, ingresos por ventas y utilidades.

Para este caso puntual debemos saber que trataremos con una empresa dedicada a la producción y venta de productos lácteos, la cual supongo estará conformada tanto por una planta fabril, empleados, logística entre otros bienes y factores de producción.

Es así, que comienzo por analizar la tabla de datos otorgada por la empresa.







Cantidad (Ton) Ingresos (U$S) Costos totales (U$S)
20 960 1001.82
50 2250 1026
120 4560 1350.52
200 6000 2613
350 5250 9613.5


A simple vista, podemos analizar desde dicho registro tabular, que ninguna de las tres variables crece de manera constante, por lo que podemos comprender que todas tienen una tasa de crecimiento diferente.

Es así, que daré comienzo al análisis de la demanda.



Al graficar los datos mediante una tabla de valores la cual realizamos comprendiendo los datos ofrecidos por la empresa. Es decir, los ingresos es lo mismo que:


Es así, que para conocer el precio por tonelada de producto, es necesario dividir los ingresos por las cantidades en toneladas, lo que nos arrojaría el precio para graficar la función de demanda.

Como podemos ver en la imagen, tenemos un comportamiento decreciente, donde analizamos una función lineal la cual elegí como el modelo adecuado para representar su comportamiento.

Si analizamos su exactitud mediante el cálculo del coeficiente de determinación, podremos ver que esta explica el comportamiento de lo valores en un 100%.



Aunque esta se ajuste de manera perfecta, quedan algunas cuestiones que debemos analizar.

En relación a su dominio, en nuestro contexto es pertinente tener en cuenta nuestras unidades de medida. Por ello, solo trabajaremos en el cuadrante positivo de la función ya que no existe dinero negativo, y no se pueden fabricar cantidades negativas tampoco.

Es así, que una función ajustada se vería de la siguiente manera.


Como podemos analizar y volver a pensar lo planteado anteriormente, podemos ver que si es una función decreciente, en la cual se ve claramente una relación decreciente entre las cantidades y el precio.

Lo cual, es bastante lógico ya que si vendemos un queso sardo a U$S 40, sólo venderemos 100 toneladas de producto. En cambio, si vendemos el mismo queso a U$S 20, se venderán 300 toneladas de dicho producto.

Ingresos por ventas:

A la hora de calcular los ingresos por ventas, debemos ser conscientes que estos representan la relación precio-cantidad, donde sólo analizaremos las ganancias de una determinada cantidad de producto por su correspondiente precio.

En este caso, los costos no están presentes ya que sólo se calcula cuánto dinero se podrá adquirir vendiendo una determinada cantidad de producto.

Su fórmula fue planteada previamente, así que solamente realizaré su representación gráfica para analizar un punto óptimo de venta.




Si analizamos sus valores en la tabla otorgada por la organización, podemos asimilar este comportamiento a una función creciente y positiva, la cual a medida que más cantidades se produzcan y se vendan, mayores serán los ingresos por venta.

Todo esto, debido a su relación en la cual

Tal es este comportamiento que grafico de la siguiente manera.




En primera instancia, vemos un comportamiento el cual podríamos describir en tres fases. Una primera la cual los ingresos crecen en una tasa muy alta, la cual puede identificarse en el intervalo (1,150) donde mantiene un crecimiento notable.

Una segunda instancia ubicada en el intervalo (150,250) demuestra un proceso en el cual el crecimiento de los ingresos en relación a las cantidades, es mucho menor. Podríamos decir, está encontrando un máximo.

Y por último, su tercer instancia en el intervalo (250,500) presenta un comportamiento decreciente el cual podría ser leído como una advertencia en donde probablemente producir sea más efectivo en la primer instancia hasta su máximo, y no luego del mismo.

Esto no significa que no sea rentable producir y vender, sino que sus beneficios no serán tan notorios como en la primera instancia.

Por último, considero pertinente generar un correspondiente recorte para presentar una gráfica mucho más amena.

Es aquí visible, el comportamiento de los ingresos los cuales presentan un punto de máximo beneficio para la empresa productora de lácteos, el cual, podría identificarse de manera que para la venta de 250 toneladas tendrá un margen de ganancia de U$S 6250.

Dicho modelo seleccionado, el cual es un modelo polinómico de grado 2, explica su comportamiento en un 100% y además cumple con el fundamento de los rendimientos decrecientes.

Estos últimos, dicen que a medida que aumentan las cantidades vendidas, los consumidores comienzan a satisfacer su necesidad de consumir, y por consiguiente caen la demanda.

Lo que en este caso, podríamos ver reflejado en una disminución de los ingresos por venta.

Costos totales:

En relación a los costos totales, me parece pertinente dejar una definición de los mismos.

Lo que conocemos como Costos Totales no es otra cosa que la sumatoria entre los costos fijos (Alquiler, impuestos, seguros) y los costos variables (remuneración, adquisición de materia prima o transporte).

Estos se ven conformados de la siguiente manera en un registro algebraico.



Adelantándonos un paso, podemos deducir que si no producimos nada ni tampoco vendemos producto, sabemos que siguen existiendo Costos totales. Ya que, la empresa así no produzca, debe mantenerse en pie.

A continuación, llevo adelante su registro gráfico.




Antes de considerar la elección de este modelo funcional, analizaré ciertos puntos claves del comportamiento de los costos totales.

Como sabemos los costos se encuentran siempre en aumento mientras se produzcan mayores cantidades de producto. Es decir, son siempre crecientes en función de las cantidades, y son positivos ya que no existen costos negativos.

Volviendo a lo anterior, visualizamos en el valor 1000 del eje de las ordenadas-Dólares en este caso- que las cantidades son iguales a cero.

En otras palabras, si la fábrica no produce ninguna cantidad de producto, los costos fijos serán de U$S 1000

Conservando esta información, considero correcto elegir este modelo polinómico de grado 3.

Su coeficiente de determinación, nos dice que explica la función en un 100%



A continuación, dejamos la gráfica terminada en su estado ideal para la lectura de dicha empresa.



En conexión a los Costos Totales, es ideal calcular los costos marginales para diversas cantidades de producto.

Con ello, ofreceremos un análisis global para comprender cómo se comportan los costos en sí.

Previo a la realización de lo dicho, debemos comprender qué son los Costos Marginales.

Estos costos, representan la variación que sufren los Costos totales cuando se añade produce una unidad adicional de producto.

De forma sintética y más clara, lo representamos en lenguaje algebraico.


De esta manera, los calculamos mediante la hoja de cálculo para posteriormente analizar su comportamiento y su representación gráfica.



Como podemos claramente en los valores, a mayores cantidades producidas mayores serán los costos marginales. Ya que, si volvemos a su definición, comprendemos que cada tonelada adicional, genera un incremento de los costos cada vez mayor.

Por ejemplo, en un margen de producción de 50 toneladas de producto, producir una tonelada más incrementaría los costos en U$S 0.2695 aproximadamente.

Es así, que podemos deducir un comportamiento creciente a lo largo de su recorrido y una función positiva, ya que sería ilógico que existan costos marginales negativos.


Como podemos visualizar, la información previamente planteada demuestra que estábamos en lo correcto. Mediante este ajuste polinómico de grado 2 somos capaces de verificar el comportamiento creciente y su positividad.

Para corroborar, calculamos su coeficiente de determinación. El cual, nos entrega un resultado del 100%


Aun así, para comprender las tendencias de los costos marginales a diversas cantidades de producto, analizamos una hoja de cálculo de la siguiente manera.




Como podemos ver, los costos marginales para diversas proporciones de producto demuestran una tendencia a cero, ya que a medida que disminuimos las medidas de las cantidades, los costos marginales son cada vez más pequeños.

Esto se debe a un argumento matemático el cual expresa que la variación de los costos totales sobre la variación de las cantidades, cuando las cantidades tienden a cero, es igual a los costos marginales.

De forma más simplificada, la siguiente ecuación:


Aunque en la tabla los valores no sean muy notorios, cuando analizamos sus gráficas podemos ver algo indicativo de lo dicho previamente.




Como es visible en las funciones, sus constantes tienden a un número específico. En este caso, el segundo término tiende a cero. Mientras que el tercer término tiende a 50.

Por lo que podríamos simplificar todas estas funciones en una que acapare todas las demás.



Costos promedios:

En este caso, el cálculo y análisis de los costos promedios no proveen un resultado exacto. Sin embargo, nos presenta una tendencia global la cual es una buena herramienta para análisis de datos, en este caso, de costos totales.

Los costos promedios están conformados de la siguiente manera.



Es decir, los costos promedios arrojan un valor estimativo de cuánto cuesta producir una unidad de producto, en este caso toneladas.

Cuando graficamos utilizando un modelo polinómico de grado 4, obtenemos la siguiente función.


Podemos analizar un comportamiento decreciente en una primera instancia, lo que podría ser traducido en que en las primeras toneladas de producto no generan costos necesariamente grandes. Lo que podemos traducir, en las gráficas anteriores, en procesos donde los ingresos por venta crecen al igual que las utilidades.

Luego, a mitad de recorrido presenta un crecimiento mínimo, para luego volver a decrecer. Así, alcanzando un punto mínimo por el cual luego dispara hacia valores extremadamente altos.

Lo que puede ser traducido, a un promedio donde los costos totales son mucho más superiores que las cantidades producidas. Es así, que se ve reflejado igualmente en la gráfica de ingresos, donde los ingresos a partir de 250 toneladas decaen significativamente.

Por último, calculamos el coeficiente de determinación para analizar su ajuste a los valores desde un punto matemático.

Obteniendo así, un ajuste a los valores del 100%







Utilidades:

Nuevamente, previo a su cálculo es sumamente importante definir qué son las utilidades para nosotros.

Estas mismas, representan el beneficio que tiene la empresa productora de lácteos, por producir y vender sus productos teniendo en cuenta los costos totales.

Es así, que podemos definirla con un lenguaje algebraico.



Es así, que realizamos su cálculo mediante una hoja de esta índole, para luego graficar la misma.



Como puede analizarse, mediante la gráfica y su propia fórmula, la misma cuenta con el comportamiento perteneciente a una función de utilidades.

Estas características son las siguientes: Presencia de una intersección en el eje de las ordenadas, el cual representa los Costos fijos y las pérdidas que tenemos al no producir ninguna cantidad de producto.

A su vez, presenta como fue aclarado anteriormente en la gráfica de costos promedios, un comportamiento de tres fases.

En este caso, la primera fase o intervalo, nos demuestra que existen pérdidas desde las 0 toneladas producidas hasta las 20.91 toneladas aproximadamente.

Es decir, a partir de la 20.91 toneladas, comenzamos a tener utilidades de nuestra producción y venta de productos lácteos.

Por último, las funciones de Utilidades presentan un punto máximo en el cual las Utilidades máximas ofrecen a la empresa una dirección a seguir, para poder tener las mayores ganancias en relación a los costos totales.

En este caso, en un margen de producción y venta de 166.40 toneladas, las utilidades obtenidas son de U$S 3620,47 aproximadamente.

Con esto concluimos nuestro informe para esta empresa productora de lácteos.

Como recomendación, sería lo ideal analizar las gráficas de Utilidades y Costos para comprender cuál sería el punto ideal para producir y vender dichos productos.